Définition de la composée de deux fonctions

Définition

Soit  \(u\)  une fonction définie sur un intervalle \(I\)  et \(v\)  une fonction définie sur un intervalle \(J\)  tel que, pour tout \(x \in I\) , \(u(x) \in J\) . 

La composée de  \(u\) par  \(v\) est la fonction, notée \(v \circ u\) , définie sur \(I\)  par :  pour tout réel \(x \in I\) , \((v \circ u)(x)=v(u(x))\) . 

Exemples

1. On considère les fonctions \(u\)  et \(v\)  définies sur \(\mathbb{R}\)  par \(u(x)=-4x+7\)  et \(v(x)=\text{e}^x\) .

• \(v \circ u\)  est définie sur \(\mathbb{R}\)   et  \(\forall x \in \mathbb{R},\ (v\circ u)(x)=\text{e}^{-4x+7}\) .
  
• \(u \circ v\)  est définie sur \(\mathbb{R}\)   et  \(\forall x \in \mathbb{R},\ (u\circ v)(x)=-4\text{e}^x+7\) .
  

2. On considère la fonction  \(f\)  définie sur \(\mathbb{R}\)  par \(f(x)=(x^2-3x+5)^4\) . Alors \(f=v \circ u\)  où  \(u\)  et \(v\)  sont les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\)  par \(u(x)=x^2-3x+5\)  et \(v(x)=x^4\) .

Remarque

Dans la plupart des cas, on a   \(u \circ v \neq v \circ u\) .